А. П. Огнивцев родился 27 августа 1920 года в селе Петровское (ныне Луганской области Украины). В 1949 году окончил Кишиневскую консерваторию (класс В. Г. Долева). В 1949—1981 годах солист Большого театра. Выступал с концертами. Снимался в кино.
А. П. Огнивцев умер 8 сентября 1981 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище (участок № 9).