Пароль у ящика один и тот же, что в мире, что в мобильной версии.

Не приходят куда? В агент? Это в мобильном агенте в настройках надо поставить.

С теми папками, которые Вы удалили, Вы так и не разобрались, откуда они появились, Вам подсказали, что их создаёт какая-то почтовая программа, так может папку удалили, а уведомления как приходили в неё, так и продолжают приходить, проверьте настройки фильтров в почте https://e.mail.ru/settings/..., хотя если фильтры создаёт какая-то посторонняя программа, их наверно бесполезно в стандартных настройках искать.

внимание вопрос - Папка "Корзина" есть ?