В прежних версиях Скайпа (до покупки его Микрософтом) был специальный api (программный интерфейс), позволяющий специальным плагинам в том числе и записывать видео.
После покупки эта возможность была безжалостно вырезана, а чтобы люди не пользовались прежними версиями с этой возможностью, был произведен принудительный апдейт.
Так что нет, вы не запишете это просто так..
(кстати, это привело к "окирпичиванию" многих прежних Skype-телефонов)

Можно еще поставить видеокамеру (например, встроенную в сотовый телефон) перед экраном компьютера, и записать видео с экрана "вживую", так сказать.

Марина, пожалуйста, поставьте метку - Skype

Можно записать такое видео любой программой записи видео с экрана: oCam, FastStone Capture и т.п.