Откройте свой Мир!

Вопрос №10
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни. Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот. Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр. Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.
Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.

Вопрос №9
Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.
Теория игр — это раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.
Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны. Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой , где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока. Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.
Матричные игры — это игры, где два игрока играют в игру с нулевой суммой, имея конечное число «чистых» стратегий: {1,…, m} и {1,…, n} и ∀ (ij) задан платеж aij второго игрока первому. Матрица (aij) задает выигрыш первого игрока и проигрыш второго, aij≷0!
Вопрос №4
Симплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве. Метод был разработан американским математиком Джорджем Данцигом (George Dantzig) в 1947 году. Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях. Заметим, что каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным комплексом. Уравнение W(x) = c, где W(x) — максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку — требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.
Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:
1. нахождение исходной вершины множества допустимых решений,
2. последовательный переход от одной вершины к другой, ведущий к оптимизации значения целевой функции.
При этом в некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, например, когда все ограничения представлены неравенствами вида «меньше или равно» (тогда нулевой вектор совершенно точно является допустимым решением, хотя и, скорее всего, далеко не самым оптимальным). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод, соответственно, делится на однофазный и двухфазный.


Вопрос № 3
Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно.
Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, то есть ограничения содержат две переменные. Найти минимальное значение функции

при

Допустим, что система (2) при условии (3) совместна и её многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2) и (3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: . Линейная функция (1) при фиксированных значениях является уравнением прямой линии: . Построим многоугольник решений системы ограничений (2) и график линейной функции (1) при . Тогда поставленной задаче линейного программирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая опорная и функция при этом достигает минимума. Значения возрастают в направлении вектора , поэтому прямую передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора . Прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках и ), причем минимальное значение принимает в точке . Координаты точки находим, решая систему уравнений прямых и .
Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.
Случай 1. Прямая , передвигаясь в направлении вектора или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу.
Случай 2. Прямая, передвигаясь, всё же становится опорной относительно многоугольника решений. Тогда в зависимости от вида области линейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу, ограниченной снизу и неограниченной сверху, либо ограниченной как снизу, так и сверху.

Вопросы к государственному экзамену по дисциплине
«Экономико-математические методы»
(составитель Галанов К.Н.)

1. Основные этапы решения экономических задач с применением математических методов. Примеры и иллюстрации понятий и определений.
2. Методы линейного программирования. Основы линейного программирования. Математический аппарат линейного программирования. Различные формы записи задачи линейного программирования (ЗЛП).
3. Графическое решение задачи линейного программирования, исследование случаев неразрешимости задачи.
4. Симплекс-метод решения ЗЛП
5. Двойственность в линейном программировании, свойства двойственных оценок и их использование в анализе оптимального плана.
6. Транспортная задача: постановка, модель, методы решения
7. Балансовые модели. Задачи планирования на основе модели Леонтьева.
8. Общие сведения о методах реализации моделей нелинейного и динамического программирования. Постановка задачи динамического программирования. Функция Беллмана. Принцип оптимальности Беллмана. Функциональные уравнения Беллмана
9. Понятие о математической теории игр. Антагонистические игры. Матричные игры.
10. Кооперативные игры. Классические кооперативные игры.

Вопрос № 5
Двойственность в линейном программировании, свойства двойственных оценок и их использование в анализе оптимального плана
Двойственность в линейном программировании
Двойственность − это математический принцип, который распространяется на различные экстремальные задачи. Двойственность линейного программирования состоит в том, что каждая задача линейного программирования при замене некоторых её элементов на двойственные приводит к взаимно двойственным задачам.
В линейном программировании, как и во всех областях познания, проявляется закон диалектики − единства и борьбы противоположностей. Примерами противоположностей, или крайностей являются: полюса магнита, левое и правое, плюс и минус, интегрирование и дифференцирование и т.п. Противоположности относительно самостоятельны, но находятся в неразрывной связи: одна обусловливает другую, и в этом смысле одна возникает из другой.
В задачах линейного программирования (ЗЛП) подобные противоположности проявляются в двойственности. Она проявляется в том, что каждой прямой задаче линейного программирования можно сопоставить определенным образом с ней связанную другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной по отношению к исходной ЗЛП, как показано ниже.
Целевые функции и системы ограничений взаимно сопряженных задач
Элементы Прямая задача Двойственная задача
Целевая функция (1)
(3)

Система ограничений и условий (2)
(4)

Обе задачи обладают следующими свойствами:
1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой − минимум.
2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.
3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида « », а в задаче минимизации − все неравенства вида « »
4. Матрицы коэффициентов при переменных в системе ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.
5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.
6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Экономический смысл взаимно двойственных задач можно раскрыть на примере планирования оптимального использования остающихся на предприятии ресурсов основного производства: трудовых, сырьевых, станочного оборудования и других производственных мощностей.
Двойственность ЗЛП отвечает двойственному подходу к остающимся ресурсам основного производства т.е. к альтернативе:
• использования для выпуска подходящей неосновной продукции, что составляет предмет прямой задачи;
• их продажи или сдачи в аренду по условиям, рассматриваемым в двойственной задаче.
1. Математическая модель прямой задачи строится для видов неиспользуемых ресурсов основного производства в объемах единиц, из которых организуется дополнительный выпуск типов неосновной продукции в количествах . При этом используются обозначения: − норма расхода ресурсов -го вида на единицу продукции -го типа; − цена реализации единицы неосновной продукции -го типа.
Объем возможного производства неосновной продукции должен удовлетворять системе неравенств (2). Каждое неравенство в левой части состоит из суммы расходов ресурсов одного вида на выпуск планируемых объемов неосновной продукции всех типов, не превышающей имеющегося запаса этого ресурса. Поэтому общее количество неравенств определяется числом видов ресурсов. Неравенства лимитирует планируемые объемы неосновной продукции имеющимися объемами оставшихся ресурсов основного производства. Целевой функцией является суммарная выручка (1) от реализации объемов неосновной продукции всех типов. Объемы неосновной продукции планируются так, чтобы, не превышая оставшиеся ресурсы основного производства, получить максимум целевой функции − выручки.
Альтернативный способ использования оставшихся ресурсов основного производства − их продажа или сдача в аренду с учетом оценок рассматривается в двойственной задаче.
2. Двойственная задача состоит в определении оптимальных оценок ресурсов, при которых стоимость ресурсов на создание единицы планируемой продукции не меньше её цены при собственном производстве, т.е. при неравенствах (4). В пределах допускаемых ограничений, целевая функция (3) − суммарная стоимость имеющихся ресурсов − минимизируется. Но − не цены реализации остающихся ресурсов основного производства, а двойственные оценки, называемые Л.В. Канторовичем объективно обусловленными оценками, а в зарубежной литературе − теневыми или скрытыми ценами.

Свойства двойственных оценок и их использование в анализе оптимального плана
Двойственные оценки отражают эффективность использования ресурсов и служат нижними ограничениями цен реализации, обеспечивающими выручку не менее чем от выпуска неосновной продукции. Вместе с тем, двойственные оценки не ограничивают сверху цен реализации, допускаемых конъюнктурой. При оптимальном плане организации дополнительного производства стоимость его продукции и оставшихся на предприятии ресурсов основного производства совпадают. Оптимальность плана означает воплощение в стоимости произведенного по этому плану продукции стоимости оставшихся ресурсов основного производства при полном отсутствии непроизводственных затрат. В теории двойственности доказано:
• если при оптимальном плане дополнительного неосновного производства расход ресурсов меньше его запаса, то двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю;
• если двойственная оценка единицы ресурса выше нуля, то при оптимальном плане неосновного производства его расход равен запасу.
Следовательно, определяемые двойственные оценки являются мерами дефицитности ресурсов. В оптимальный план входит только та продукция, которая выгодна предприятию, и исключается производство убыточной продукции. Из свойств двойственных оценок вытекают возможности:
• объективного ограничения снизу рыночных цен ресурсов при их продаже или сдаче в аренду;
• дальнейшего совершенствования оптимального ассортимента дополнительно выпускаемой продукции.

Вопрос №6
Транспортная задача: постановка, модель, методы решения
Транспортные задачи являются специальными задачами линейного программирования (задача о назначениях рассматривается как пример задачи дискретной оптимизации). Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое приложение.
В общем виде транспортную задачу можно сформулировать следующим образом: в m пунктах отправления А1,...,Аm находится однородный груз, количество которого равно, соответственно, a1,...,am единиц. Данный груз необходимо доставить потребителям В1,...,Вn спрос которых – b1,…, bn. Стоимость перевозки единицы груза из i-того (i = 1, …, m) пункта отправления в j-ный (j = 1, …, n) пункт назначения равна Cij. Необходимо составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе, и при этом суммарные транспортные издержки были бы минимальны.
Математически транспортную задачу можно записать так:
, (1)
при следующих условиях:
где i = 1, ..., m; (2)
где j = 1, …, n; (3)
(4)
Таким образом, даны система ограничений (2) при условии (3) и линейная функция (1). Требуется среди множества решений системы (2) найти такое неотрицательное решение, которое доставляет минимум линейной функции (1).
Модель транспортной задачи называют закрытой (сбалансированной), если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется равенство:
. (5)
Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:
(6)
, (7)
то модель задачи называют открытой (несбалансированной).
Для разрешимости транспортную задачу с открытой моделью следует преобразовать в закрытую. Так, если выполняется условие , то необходимо ввести фиктивный (n + 1)-й пункт назначения Bn+1, то есть в матрицу задачи вводится дополнительный столбец. Спрос фиктивного потребителя принимается равным . Стоимость перевозок продукции полагается одинаковой, чаще всего равной нулю (если не задана стоимость складирования продукции), то есть сi, n+1 = 0, .
Если выполняется условие , то необходимо ввести фиктивного (m + 1)-го поставщика Am+1, то есть в матрицу задачи вводится дополнительная строка. Запас груза фиктивного поставщика принимается равным . Стоимость перевозок продукции полагается одинаковой, чаще всего равной нулю (если не задана стоимость штрафов за недопоставку продукции), то есть сm+1, j = 0, .
Методы решения ТЗ
Решение ТЗ производится в 2 этапа. На первом этапе ищется первоначальное базисное решение. Это решение может быть найдено одними из следующих методов:
• методом «северо-западного угла»;
• методом «наименьшей стоимости»;
• методом Фогеля.
На втором этапе на основе первоначального базисного решения (опорного плана) ищется оптимальное решение (оптимальный план) методом потенциалов.

Вопрос №7
Балансовые модели. Задачи планирования на основе модели Леонтьева.
В многоотраслевой экономике при планировании используется линейная модель баланса, в которой учитывается двойственность отраслей как производителей и одновременно потребителей своей продукции и продукции, вырабатываемой другими отраслями.
На основе такой линейной модели, называемой моделью Леонтьева, можно делать расчеты различных вариантов планового баланса, исходя из заданного количества конечного продукта общественного производства. Выбор наиболее подходящего варианта из возможных модификаций развития на плановый (прогнозный) период позволяет оптимизировать план.
Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса (ее называют моделью Леонтьева, или моделью «затраты – выпуск»).
Алгебраическая теория анализа модели «затраты – выпуск» сводится к решению системы линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции.
Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на п «чистых» отраслей. «Чистая» отрасль – это условное понятие, некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).
Пусть Xij – объем продукции отрасли i, расходуемый в отрас¬ли j; Хi – объем производства отрасли i за данный промежуток времени (так называемый валовой выпуск продукции i); Yi – объем потребления продукции отрасли i в непроизводственной сфере (объем конечного потребления); Ζј – условно чистая продукция, которая включает в себя оплату труда, чистый доход и амортизацию.
Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Ниже представлена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.
Матрица межотраслевого баланса (в общем виде)
Производящие отрасли Потребляющие отрасли Конечный продукт Валовой продукт
1 2 … n
1 Х11 Х12 … Х1n Y1 Х1
2 Х21 Х22 … Х2n Y2 Х2
… … … … … … …
n Хn1 Хn2 … Хnm Y3 Хn
Условно чистая продукция Z1 Z2 … Zn

Валовой продукт Х1 Х2 … Xn


Рассматривая схему баланса по столбцам, можно заметить, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее ус¬ловно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:
. (1)
Напомним, что величина условно чистой продукции Ζј равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода отрасли j. Данное соотношение охватывает систему из п уравнений, отражаю¬щих стоимостный состав продукции всех отраслей материальной сферы.
Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производя¬щей отрасли, замечаем, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее про¬дукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:
. (2)
Формула (2) описывает систему из n уравнений, которые называются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.
Балансовый характер таблицы выражается в том, что
.
Коэффициенты прямых материальных затрат. Основу экономико¬-математической модели МОБ составляет технологическая матрица коэффициентов прямых затрат А(аij).
Коэффициент прямых материальных затрат аij показывает, сколько необходимо единиц продукции отрасли i для производ¬ства единицы продукции отрасли j, если учитывать только прямые затраты:
. (3)
Сделаем два важных предположения, необходимых для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева.
1. Сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А = (аij) постоянна.
2. Постулируем свойство линейности существующих техно¬логий: для выпуска отраслью j любого объема продукции Xj необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijXj, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производи¬мой продукции:
xij = aijXj. (4)
Подставляя (4) в балансовое соотношение (2), получаем
, (5)
или в матричной форме
X=AX+Y. (6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:
– задавая для каждой отрасли величины валовой продукции (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой от¬расли (Yi):
Y= (Е - А)Х; (7)
– задавая величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрас¬ли (Xi):
Х = (Е - А)-1 Y; (8)
– задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, мож¬но найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
В формулах (7) и (8) символ Е обозначает единичную матри¬цу порядка n, а (Е - А)-I – матрицу, обратную к матрице (Е - А).
Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то существует обратная к ней матрица. Обозна¬чим обратную матрицу через В = (Е - А)-1, тогда систему уравнений в матричной форме можно записать в виде Х = ВY.
Элементы матрицы В называются коэффициентами полных ма¬териальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции отрасли i для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции отрасли j. Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если соблюдается усло¬вие продуктивности.
Неотрицательную матрицу А будем называть продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х ≥ 0, что
Х > АХ. (9)
Очевидно, что условие (9) означает существование положи¬тельного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межот¬раслевого баланса (6).
Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материаль¬ных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:
1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)-1≥ 0;
2) матричный ряд Е + А + А2 + АЗ + ... = сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - A)-1:
В = (Е – А) -I = Е + А + А2 + АЗ + ...; (10)
3) наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения │λЕ–А│= 0 строго меньше единицы;
4) все главные миноры матрицы (Е – А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n положительны.
Более простым способом проверки продуктивности матрицы А является ограничение на величину её нормы, в данном случае на величину наибольшей из сумм элементов матрицы в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие является достаточным, но не необходимым условием продуктивности, поэтому матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда её норма больше единицы.
Межотраслевые балансовые модели в анализе экономических показателей
К числу важнейших аналитических возможностей данного балансового метода относится определение прямых и полных затрат труда на единицу продукции и разработка на этой основе балансовых продуктово-трудовых моделей. При этом ис¬ходной моделью служит отчетный межпродуктовый баланс в нату¬ральном выражении. В отдельной строке баланса дается распреде¬ление затрат живого труда в производстве всех видов продукции. Предполагается, что трудовые затраты выражены в единицах труда одинаковой степени сложности.
Пусть Lj – затраты живого труда в производстве продукта j, а Хj – объем производства этого продукта (валовой выпуск). Тогда прямые затраты труда на единицу продукции вида j (коэффициент прямой трудоемкости) можно задать следующей формулой:

(1)
Введем понятие полных затрат труда как суммы прямых за¬трат живого труда и затрат овеществленного труда, перенесенных на продукт через израсходованные средства производства. Если обозначить величину полных затрат труда на единицу продукции вида j черезTj, то произведения вида aijTi отражают затраты ове¬ществленного труда, перенесенного на единицу продукта j через средство производства i. Предположим, что коэффициенты прямых материальных затрат aij выражены в натуральных едини¬цах. Тогда полные трудовые затраты на единицу продукции вида j (коэффициент полной трудоемкости) будут равны
(2)
Введем вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости и вектор-строку коэффициентов полной трудоем¬кости . Тогда с помощью матрицы коэффициен¬тов прямых материальных затрат А (в натуральном выражении) систему (2) можно переписать в матричном виде
. (3)

Произведя очевидные матричные преобразования с ¬использованием единичной матрицы Е
,
получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:
. (4)

Матрица (Е - А)-1 нам уже знакома, это матрица коэффици¬ентов полных материальных затрат – В, поэтому равенство (4) можно переписать в виде:
. (5)

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы (1) будет равна
. (6)

Используя соотношения (X>AX), (5) и (6), приходим к следующему равенству:
. (7)

Здесь и – векторы-строки коэффициентов прямой и пол¬ной трудоемкости, а и – векторы-столбцы валовой и конеч¬ной продукции соответственно.
Соотношение (7) представляет собой основное балансовое равенство в теории межотраслевого баланса труда. В данном слу¬чае его конкретное экономическое содержание заключается в том, что стоимость конечной продукции, оцененной по полным затра¬там труда, равна совокупным затратам живого труда. Сопоставляя потребительский эффект различных взаимозаменяемых продуктов с полными трудовыми затратами на их выпуск, можно судить о сравнительной эффективности их производства. Показатели пол¬ной трудоемкости выявляют структуру затрат на выпуск различных видов продукции, и, прежде всего, соотношение между затратами живого и овеществленного труда.
На основе коэффициентов прямой и полной трудоемкости могут быть разработаны межотраслевые и межпродуктовые ба¬лансы затрат труда и использования трудовых ресурсов. Схемати¬чески эти балансы строятся по общему типу матричных моделей, однако все показатели в них (межотраслевые связи, конечный продукт, условно чистая продукция и др.) выражены в трудовых измерителях.

Вопрос №8
Общие сведения о методах реализации моделей нелинейного и динамического программирования. Постановка задачи динамического программирования. Функция Беллмана. Принцип оптимальности Беллмана. Функциональные уравнения Беллмана
Задача нелинейного программирования формулируется подобно задаче линейного программирования, но с учетом того, что целевая функция или/и хотя бы одно ограничение являются нелиней¬ными. Вследствие этого задачи нелинейного программирования (НП) сложнее задач линейного программирования (ЛП). И для них не существует общего метода решения, который был бы аналогичен симплексному методу в ЛП. Следует также заметить, что задачи нелинейного программирования включают в себя также нели¬нейные целочисленные задачи и задачи дискретного программи¬рования. С учетом методов решения задачи нелинейной оптими¬зации делятся на задачи условной оптимизации (поиск экстремума функции с учетом дополнительных условий в виде ограничений и граничных условий) и задачи безусловной оптимизации (поиск экстремума функции без всяких дополнительных условий). Для решения такого типа задач существует много различных методов. Применение того или иного метода решения зависит от типа не¬линейности. Постановка задачи динамического программирования Пусть имеется некоторая система , которая с течением времени меняет свое состояние, то есть в системе происходит некоторый процесс. Этим процессом можно управлять, то есть влиять на состояние системы. Время протекания этого процесса разбивается на этапов. Способ воздействия на систему называется управлением . Эффективность процесса оценивается выигрышем или проигрышем , который максимизируется или минимизируется. Требуется найти такое оптимальное управление , при котором выигрыш будет максимальным, то есть . Иногда задаются начальное или конечное состояние системы . Из множества возможных управлений ищется такое оптимальное управление, которое переводит систему из начального состояния в конечное , причем так чтобы при этом выигрыш был максимальным. Принцип оптимальности Беллмана Каково бы не было состояние системы в результате какого-то числа шагов, управление на ближайшем шаге должно выбираться так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило бы к максимальному выигрышу или минимальному проигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Пусть − это условный оптимальный выигрыш, получаемый на всех последующих шагах, начиная с -го шага и до конца рассматриваемого периода. Он достигается при оптимальном управлении на всех шагах и равен максимальному выигрышу, который можно получить на всех этих шагах вместе , если в их начале система находится в состоянии . − условное оптимальное управление на -м шаге, которое совместно с оптимальным управлением на всех последующих шагах максимизирует выигрыш на всех оставшихся шагах, начитая с данного.
Математическая модель задачи динамического программирования ! Определить оптимальные выигрыши и и оптимальное управление для .
Согласно принципу Беллмана выигрыш , который получается на всех шагах, начиная с -го, если на -м шаге будет применено управление , а на всех последующих шагах от -го до -го − оптимальное управление, будет равен сумме выигрыша на данном -м шаге и условного оптимального выигрыша на всех последующих шагах, начиная с -го :
(1)
где − новое состояние, в которое система переходит в результате -го шага. Чтобы определить это новое состояние системы , воспользуемся функцией перехода системы от состояния к состоянию под воздействием управления . Тогда уравнение (1) можно записать в другом виде:
(2)
Таким образом выигрыш выражается через выигрыш . Выражение (2) называется основным функциональным уравнением динамического программирования (уравнением Беллмана). называется глобальным выигрышем, − локальным выигрышем, то есть выигрышем за один шаг.

Все консультации будут проходить на Цеховой.

8-15 -9-45 Маркетинг
9-55 - 11-25 Управление качеством
11-35 - 13-05 Анализ финансово-хозяйственной деятельности
13-35 - 15-05 Налогообложение промышленных предприятий
15-15 - 16-45 Организация производства

14 января собрание в 16-00 на В1-, затем 2 пары по управлению качеством у Денисовой, Ксюша выложила расписание на первые дни, спасибо!

по Организации  предпринимательской деятельности преподователя изменили теперь Кудашкин Алексей Сергеевич

16.00Собрание с 72 группой16.55-20.15 Управление  качеством лекции с 72 группой
       15.01.2013
11.35-Управление качеством
       16.01.2013
13.35-16.00 Политология
16.00 Управление качеством пр 1гр
18.35-21.45  ОПД

задания по опд делать по бурбах

Дорогие однокурсники! С началом учебного года вас всех!!!
У кого есть информация о темах Дипломных работ, о преподавателях пишите здесь.

Учебный план 6 курс 


Сессия с 14.01.2012


1.Политология -  к/р, экзамен , преподаватель: зав. кафедрой, профессор,  к.и.н. Тананушко Л.В., кафедра Менеджмента,
предпринимательства и информационных технологий( МПИТ);


2.Экономическая оценка
инвестиций -  курсовая работа, экзамен, преподаватель
: профессор, к.э.н., Гуселетова Г.В., кафедра 
Менеджмента, предпринимательства и информационных технологий ( МПИТ);


3.Организация
предпринимательской деятельности – контрольная работа, экзамен, преподаватель: Миненко
А.В., доцент, к.э.н., кафедра Экономики и управления (ЭиУ);


4.Управление качеством-
контрольная работа ( очень желательно в эл. Варианте  в виде слайдов),  экзамен, преподаватель : ст. преподаватель Денисова
Л.А., ст. преподаватель, кафедра Экономики и управления (ЭиУ).

Дисциплина « Экономическая оценка инвестиций»

Темы курсовых работ
1.Экономическая оценка инвестиций как предварительный этап предпринимательской деятельности предприятий.
2.Анализ доходности и риска инвестиционных проектов предприятия.
3.Выявление потерь упущенных возможностей, (экономический расчет на примере предприятия)
4.Оценка инвестиционных проектов в условиях инфляции.
5.Формирования портфеля инвестиций на предприятии.
6.Бизнес план инвестиционного процесса (на примере предприятия)
7.Оценка инвестиционных проектов с неординарными денежными потоками (см. применение MIRR модифицированной нормы прибыли)
8.Анализ инвестиционного проекта в условиях инфляции.
9.Оценка риска и учёт неопределённости инвестиционного проекта.
10.Эффективность инвестиционных проектов (подходы и методы оценки)
11.Источники инвестиционной деятельности промышленного предприятия (на примере предприятия)
12.Источники инвестиционной деятельности предприятий текстильной и легкой промышленности (на примере предприятия)
13.Сравнительная характеристика критериев оценки бизнеса предприятия.
14.Влияние внешней среды на эффективность деятельности предприятия (на примере предприятия)
15.Лизинговое динамирование инвестиционного проекта.
16.Материально - вещевые активы и инвестиционные проекты предприятия.
17.Оценки основных инвестиционных решений руководства предприятия при применении теории опционов.
18.Проблемы, доходы и выбор целевой структуры капитала.
19.Определение оптимальной структуры капитала предприятия.
20.Долговые инструменты - как механизм экономической мобилизации предприятия.
21.Инвестиционный процесс в формате преобразования предприятия в акционерное общество и выделения части f капитала для открытой продажи.
22.Инвестиционный банковский процесс.
23.Определение безубыточности производственного инвестиционного проекта.
24.Роль инвестиционного горизонта в развитии предприятия.
25.Конвертация ценных бумаг как механизм инвестирования предприятия.
26.Долговые инструменты как механизм стабилизации деятельности предприятия.
27.Оптимизация бюджета капложений предприятия.
28.Определение инвестиционных возможностей и определение цены капитала.
29.Определение управленческих опционов на предприятии.
30.Определение экономической оценки инвестиций предприятия в соответствии с установленными предприятиями.
31.Определение бюджета капложений на предприятии, расчет его эффективности.
32.Определение доходности финансовых активов — САРМ на
предприятии. )

Уважаемые однокурсники! С завершением сессии вас!!!!!!!!!! Это дело нужно отметить!!!!!!! Это славное событие намечается на воскресенье, 29 апреля. Давайте рассмотрим гастрономически достойные,  культурно эстетические, экономически выгодные ( ведь мы же будущие экономисты) варианты до пятницы. Жду писем и звонков и нужно определится по количеству желающих. 

Проверяйте почту, задания, формы для практики или другой материал буду рассылать по почте! 

2.048,15-9,55- документирование ц-2
9.55-13.05- менеджмент в-1
13.55-15.05- Организация производства

3.04
8.15.-9.45 документирование ц-2
9.55-13.05 менеджмент в-1
13.35- 16.45- финансы предприятий 1гр ц-25

4.04
8.15-21.45 финансы и кредит (4пары 1 группа и 4 пары 2 группа)

5.04
8.15-9.45 документирование гр2 ц-2
9.55-.16.45-менеджмент(2пары 1гр, 2пары 2гр)

6.04
8.15- 9.45- Документирование гр-2 ц-2
9.55-13.05-менеджмент 1гр в-1
13.35-16.45- менеджмент 2гр в-1
16.55-20.05 бух.учет практика 1 группа

7.04
8.15-9.45- Документирование ц-2 ЗАЧЕТ
13.35-16.45- ФИНАНСЫ ПРЕДПРИЯТИЙ ПРАКТИКА 1ГРУППА В-1

Дисциплины и преподаватели  5 курс 2 семестр

1)      Бухгалтерский учет-  к/р, экзамен ,ст. преподаватель Марусенко И.А., кафедра Менеджмента, предпринимательства и информационных технологий( МПИТ);

2)      Финансы и кредит-  экзамен, д.э.н., профессор Швецов Ю.Г.

3)      Менеджмент- курсовая работа, экзамен, доцент, к.э.н., Разгон А.В., кафедра экономики и управления (ЭиУ);

4)      Планирование на предприятии- курсовой проект, экзамен, ст. преподаватель Пермяков В.И., кафедра МПИТ;

5)      Документирование управленческой деятельности- к/р, зачет, ст. преподаватель Головина С.В.,  кафедра ЭиУ;

6)      Гражданское право-  к/р, зачет, ст. преподаватель Михайлова Т.А.,  кафедра ЭиУ;

7)      Организация производства на предприятиях отрасли – курсовая работа, экзамен, доцент, к. с-х.н., Выдрин Н.Г., кафедра ЭиУ;

8)      Финансы предприятий- к/р, экзамен, ст. преподаватель Хижняк А.Б., кафедра МПИТ;

9)      Стратегическое управление предприятием- к/р, экзамен, , доцент, к.э.н., Разгон А.В., кафедра экономики и управления (ЭиУ);

10)   Малое предпринимательство -  к/р, зачет, доцент Бурбах Э.Н., кафедра ЭиУ.

Всех с прошедшими праздниками! У кого нет заданий, напишите мне адрес,  вышлю  лекции, методички, темы к курсовым и контрольным. По маркетингу 8 тему не брать. Кто не знает задания по стратегическому управлению- пишите.

В пятницу, 09.12.11 лекции по Гражданскому праву с 8-15 на В-1, совместно с 72 гр.

Расписание на 08.12.2011, 09.12.2011.
12.12.11.


 


08.12.2011 


11.35-13.05  Гражданское
право,  лк,  Михайлова Т.А.      Ц-2


13.35-15.05  Гражданское
право,  лк,  Михайлова Т.А.      Ц-2


 


09.12.2011


11.35-13.05 
Гражданское право,  лк,  Михайлова Т.А.      Ц-2


13.35-15.05 
Гражданское право,  лк,  Михайлова Т.А.      Ц-2


 


12.12.11


 9.55   Зачет
по налогообложению,      Швецов
Ю.Г.            В-1

Задача 4


Требуется:


1.               
Заполнить журнал хозяйственных операций (таблица 4).


2.               
Открыть счета синтетического учета.


3.               
Отразить на них хозяйственные операции.


4.               
Подсчитать обороты и конечные остатки.


5.               
По записям на счетах составить оборотную ведомость (таблица 5).


6.               
Заполнить бухгалтерский баланс по состоянию на __________20___ г.
(таблица 6).


 


Таблица 3 – Бухгалтерский
баланс на начало отчетного периода























Основные средства







Уставный капитал









первоначальная стоимость*







Резервный капитал









амортизация*







Нераспределенная прибыль









Запасы







отчетного года*









в том числе:







прошлых лет*









материалы







Краткосрочные кредиты









расходы будущих периодов







 









готовая продукция







 









Дебиторская задолженность







Кредиторская задолженность









в том числе:







в том числе:









покупателей







поставщикам









прочих дебиторов (подотчетных лиц)







перед бюджетом по налогам и сборам









Денежные средства







по страхованию









в том числе:







по оплате труда









касса







 









расчетный счет







 









БАЛАНС







БАЛАНС









* Данные по этим строкам являются справочными для
открытия бухгалтерских счетов.


 


Таблица 4 – Журнал хозяйственных
операций за ___ квартал 20__ г.


 

































































Безвозмездно поступил станок





















Отгружена покупателям готовая продукция





















В кассу с расчетного счета получены наличные средства для выплаты
зарплаты





















Получен на расчетный счет долгосрочный кредит банка





















Выплачена зарплата работникам





















Получено с расчетного счета в кассу на хозяйственные нужды





















Получен на расчетный счет краткосрочный кредит банка

















                                                                                                       
Продолжение таблицы 4































Выдано из кассы работникам на хозяйственные расходы





















С расчетного счета частично погашена задолженность банку по ранее
полученным краткосрочным кредитам





















Отпущены со склада в основное производство материалы





















Списана на основное производство 1/3 часть расходов будущих периодов
(арендная плата за II
квартал)





















Начислена заработная плата рабочим основного производства





















Произведены отчисления органам соцстраха с ФОТ





















Удержан налог на доходы с физических лиц





















Поступила от поставщиков материалы





















Отражен НДС по поступившим материалам





















С расчетного счета перечислено в погашение задолженности поставщику
материалов





















Перечислено с расчетного счета в погашение задолженности по налогам





















Начислена амортизация по основным средствам, используемым в основном
производстве





















Выпущена из производства готовая продукция

















 


Таблица 5 – Оборотная
ведомость (баланс) по синтетическим счетам



































































































Основные средства



 



 



 



 



 



 









Амортизация основных средств



 



 



 



 



 



 









Материалы



 



 



 



 



 



 









НДС по приобретенным ценностям



 



 



 



 



 



 









Основное производство



 



 



 



 



 



 









Готовая продукция



 



 



 



 



 



 









Товары отгруженные



 



 



 



 



 



 









Касса



 



 



 



 



 



 









Расчетный счет



 



 



 



 



 



 









Расчеты с поставщиками и подрядчиками



 



 



 



 



 



 









Расчеты с покупателями и заказчиками



 



 



 



 



 



 









Расчеты по краткосрочным кредитам и займам



 



 



 



 



 



 









Расчеты по долгосрочным кредитам и займам



 



 



 



 



 



 









Расчеты по налогам и сборам



 



 



 



 



 



 









Расчеты по социальному страхованию и обеспечению



 



 



 



 



 



 









Расчеты с персоналом по оплате труда



 



 



 



 



 



 









Расчеты с подотчетными лицами



 



 



 



 



 



 









Уставный капитал



 



 



 



 



 



 









Резервный капитал



 



 



 



 



 



 









Нераспределенная прибыль (непокрытый убыток)



 



 



 



 



 



 









Расходы будущих периодов



 



 



 



 



 



 









Доходы будущих периодов



 



 



 



 



 



 





                                                                                                           
Продолжение таблицы 5











































Прибыли и убытки



 



 



 



 



 



 









 



 



 



 



 



 





 


Таблица 6 – Бухгалтерский
(сальдовый) баланс по состоянию на _________________


 









































Основные средства







Уставный капитал









первоначальная стоимость*







Резервный капитал









амортизация*







Нераспределенная прибыль









Запасы







отчетного года*









в том числе:







прошлых лет*









материалы







 









НДС по приобретенным ценностям







Долгосрочные кредиты банков









расходы будущих периодов







Краткосрочные кредиты









готовая продукция







 









товары отгруженные







 









Дебиторская задолженность







Кредиторская задолженность









в том числе:







в том числе:









покупателей







поставщикам









прочих дебиторов (подотчетных лиц)







перед бюджетом по налогам и сборам









Денежные средства







по страхованию









в том числе:







по оплате труда









касса







Доходы будущих периодов









расчетный счет







 









БАЛАНС







БАЛАНС









 


 

В субботу в 16.55  будет практическое занятие по бухучету на В-1 для всей группы!!! Принести  распечатанное задание , калькулятор, тетрадные листы в клетку. Если завтра все будем на занятии, то практики для второй подгруппы не будет. Я распечатала около 40 экз. заданий по бухучету.