Откройте свой Мир!

На шесть одинаковых с виду гирек массой 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г наклеены таблички «1 г», «2 г», «3 г», «4 г», «5 г», «6 г». Как за два взвешивания на чашечных весах проверить, правильно ли приклеены таблички?

Решить уравнение

Из середин сторон остроугольного треугольника площади S опустили перпендикуляры на стороны. Чему равна площадь образовавшегося щестиугольника?

Две окружности и прямая пересекаются, как показано на рисунке. Докажите, что ∠ABC = ∠KLM.

К описанной окружности треугольника ABC проведена касательная в точке C. Расстояния от вершин A и B до этой касательной равны a и b. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины C.

Решить (в радикалах) уравнение.

x⁵ + 5x³ + 5x = 2

2 6254 3359 65333599,
2 352684 726,
45232 6 6452 6253 35273593,
68, 3565254, 56454 56 526
2549843 5284 553362243599.
56669 26336 263 2 5664 62535
263232 4 623566585, 4 96585,
366399 — 5233358,
623634 355,
4 3566433549 563462658.

Автор — Наталья.

Найти сумму всех целочисленных значений, которые может принимать выражение

	______
3x + 5√	17 − x²	.

Система уравнений

При каком значении параметра а произведение ху принимает наименьшее значение ?

Решить систему уравнений

{ x² + y = 2
{ y² + z = 2
{ z² + x = 2

На рисунке изображено шесть окружностей, из которых окружности 1, 2, 3 и 4 имеют единичный радиус. Эти окружности касаются большой окружности 6. Окружность 1 касается окружностей 2 и 4, окружность 3 касается окружностей 2 и 4, окружность 5 касается окружностей 1, 2 и 6. Найти радиус окружности 5.

(автор задачи Олег Крыжановский)

Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC треугольника ABC пересекают высоту BH в точках M и N. Известны расстояния BM = m и BN = n. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Решить уравнение

x³ + 3x = 9x² +3

Последовательность a_n строится по правилу:

a_0 = 55; a_{n+1} = a_n + 1/a_n.

Доказать, что

a) a_1300>75;
б) a_1299<75.

Вычислите предел

	n	⎛		k	⎞
lim	∑	⎜	1 −	—	⎟ sin 2kx.
n→∞	k=1	⎝		n	⎠

Эта задача из Ответов. Но там она давным-давно «погибла».

Решить уравнение

Алик Гурарий.

"- Милорд, не печалься, бывает и так,
Что умным в беде помогает дурак."
С.Я. Маршак. "Король и Пастух"


В городе Икс, за горами, морями
Жил математик с тремя сыновьями.
Старший - любил математику очень.
Средний - любил ее так, между прочим.
Младший был мало похож на папашу -
Водку любил и буфетчицу Глашу.

Как-то, наследством своим озабочен,
Вызвал отец сыновей среди ночи.
Выдал Хрущевской эпохи монеты
И приказал: "До начала рассвета
Нужно без циркуля и без линейки
Вычислить Пи до рубля и копейки.

Тот, чье решенье окажется краше,
В жены получит буфетчицу Глашу,
Черный колпак и сто грамм на похмелье",-
Так он сказал, и ушел в свою келью.
Время пошло, и в раздумье над кодом
Каждый своим отличился подходом.

Старший задание счел несуразным:
"Пи не бывает для разного разным."
Средний был в том не уверен, но все-же
Быстро смекнул, что перечить дороже.
Младший задул догоравшую свечку,
Выпил, икнул и вернулся на печку.

Думая час, и не видя просвета,
Старшие братья пошли за советом.
Всех обошли этой ночью бессонной:
Были у Крулеров, у Бенинсонов.
Стыдно сказать, даже сам Ломоносов
Не избежал полуночных распросов.

Еле успели домой до рассвета,
Где их отец дожидался с ответом.
Старший вздохнул и сказал виновато:
"Ночи на брата, отец, маловато".
Средний добавил, косясь под скамейку:
"Кабы нам циркуль, да кабы линейку..."

Младший сын вышел нетвердой походкой:
"Помню я старые цены* на водку.
Если налить пол-литровую кружку,
И возвести в ее степень чекушку,
То по тем ценам выходит, однако,
В точности Пи, вплоть до третьего знака".

Встал тут отец, преподнес ему чашу,
Черный колпак и буфетчицу Глашу.
Долго не думая, свадьбу сыграли...
Мы же добрались до главной морали:
Чтоб получить чье-то сердце и руку,
Нужно учить прикладную науку.


-----------------------------------------------------------
*цены до 68 года:
чекушка: 1 руб 49 коп
пол-литра: 2 руб 87 коп

т.е. 1.49^2.87 = 3.1408311560663396721068791820612

Пи = 3.1415926

Все знают, как выразить любое число с помощью трех двоек
N = - log2 (log2 (sqrt(sqrt(...sqrt(2)))))
sqrt - это квадратные корни, которые повторяются ровно N раз.
log2 - это логарифм по основанию 2.
Как это получается? Внутренний логарифм равен 1/(2^N). Внешний равен -N.

А теперь внимание, вопрос: как выразить любое число с помощью ДВУХ двоек?

Решить неравенство
x⁵ + x⁴ + 2 ≥ x³ + 2x² + 2x

Известно, что функция f имеет производную в каждой точке числовой оси, причем для всех действительных значений х и для любого натурального n справедливо неравенство

В треугольнике медиана, выходящая из одной вершины,
равна высоте, опущенной из другой вершины, и равна 1.
А высота, опущенная из третьей вершины, равна sqrt 3.
Чему равна площадь такого треугольника ?

x, y — произвольные действительные числа. Докажите, что

x + y	x² + y²	x³ + y³	x⁶ + y⁶
—— ·	——— ·	——— ≤	———.
2	2	2	2