Откройте свой Мир!

P.S. Большой привет Леониду.

Два круга изначально находятся в положении А .

Круг радиуса 2R начинает вращение с угловой скоростью ω. Одновременно, круг радиуса R начинает катиться без проскальзывания по кругу радиуса 2R с угловой скоростью 3ω, то есть за единицу времени прокатывается по большому на расстояние 3ωR.
Круги возвращаются в исходное положение А.

Сколько оборотов вокруг своих центров сделают круги?

Не сочтите, что подложил свинью. Новогоднее уравнение:

В параллели 51 учащийся, среди них два друга - Сергей и Вадим. Учащихся случайным образом разбивают на три равные группы. Найдите вероятность, что Сергей и Вадим окажутся в одной группе.

Ответ в сборнике меня смущает.

Уважаемые коллеги. У меня проблема: студент "5" хотел, но погуливал иногда, баловался. Дала ему 3 задачки из Сборника по Высшей математике Лунгу - особо и не выбирала. Но одна не сошлась с ответом: "на предприятии имеется 3 вакансии для мужчин, 2 - для женщин
и 4 вакансии, которые могут быть заняты как мужчинами, так и женщинами. Сколькими способами могут выбрать 
место трое мужчин и двое женщин?"

Прикинем: отбросив ограничения по полу, максимальное чисто вариантов - это размещения без повторений из 9 по 5 элементов. Получается 15 120, ответ - 12 348. Мы с Ромой "зависли": меньше вариантов, и всё. Рома даже решил, что в состоянии кризиса могло быть так, что кой - кого из претендентов не взяли вообще (ни грузчиками, ни уборщицами). Помогите, чем можете прогульщику Роме и его бестолковой учительнице (которая просто ткнула пальцем в задачу и теперь мучается раскаянием)

"Нет столь великой вещи, которую не превзошла бы величиною ещё большая.
Нет вещи столь малой, в которую не вместилась бы ещё меньшая. "
Козьма Прутков.

Точки А и В суть концы диагонали осевого сечения прямого кругового цилиндра с высотой H = 16 и радиусом основания R = 49.

Чему равно минимальное расстояние АВ по поверхности цилиндра?

Не даёт покоя одна "бородатая" задача. Решение похожей встречала у В.Н.Дятлова, "Как научиться решать задачи с параметрами", и вот снова она попалась.
Уважаемые математики, хотелось бы увидеть разные способы решения.

И ещё одна задача из X заочного творческого конкурса учителей математики...

В равнобедренном треугольнике АВС проведена окружность с центром С, касающаяся основания АВ, которая пересекает боковые стороны в точках A’ и B’. В образовавшейся трапеции AA’B’B проведен отрезок DE, параллельный ее основаниям и разбивающий ее на две подобные трапеции. Сравните длину DE и длину дуги окружности, лежащей внутри трапеции.

Ещё одна задача из X заочного творческого конкурса учителей математики.

В шахматном турнире участвуют 2014 игроков. В каждом туре они произвольным образом разбиваются на пары так, чтобы шахматисты в каждой паре ранее в этом турнире между собой не играли. Турнир заканчивается, когда такое разбиение провести невозможно. Какое наибольшее количество туров можно гарантированно провести в таком турнире?

Ещё задача из X заочного конкурса учителей математики.

Известно, что при любых целых значениях x выражение ax³ + bx² + cx принимает целые значения. Докажите, что 6a – целое число.

Вчера завершился срок отправки решений задач X творческого конкурса учителей математики, поэтому можно обсудить их решения. Предлагаю лучшие, на мой взгляд, задачи конкурса.

На плоскости отметили 8 точек. Каждую пару точек соединили отрезком и к каждому такому отрезку построили серединный перпендикуляр. Могло ли оказаться так, что на каждом построенном перпендикуляре лежат ровно две отмеченные точки?

Если ввести счет времени по древнеегипетскому календарю ( 365 дней в году), то ежегодно накапливается ошибка примерно в 6 часов. Какая ошибка накопится за
12 лет? Через сколько лет ошибка составит 6 суток?

у буратино есть 1000пиастров , он хотел положить в банк на счет на три мясяца,но открыть вклад в пиастрахтрах тогда его доход за этот период составит 50%,а если в фунтах стерлингов , то 15 %.Пьеро предложил поменять все писатры на франки и подождать тот же срок.Один фунт стоит 99 пиастров и растет каждый месяц на 10 %,а один франк стоит 80 пиастров,но растет на 15%. И все же буратино решил хранить деньги в фунтах. Сколько денег в писатрах будет у Буратино через три месяца.Обратим внимание,что курсы покупки и продажи валют совпадают ..

В треугольнике АВС сторона АВ меньше АС. Окружность с центром в точке А и радиусом, равным длине стороны АВ, пересекает сторону АС в точке К.
Около треугольника АВС описана окружность. m - касательная к этой окружности в точке А. М - точка пересечения прямой m с первой окружностью, причем М и К лежат в разных полуплоскостях относительно стороны АВ.
Всегда ли прямая МК пройдет через центр окружности, вписанной в треугольник АВС ?

Вопрос "компьютерный", а не математический. Но думаю, что он будет интересен участникам сообщества.

В 70-х годах прошлого века ряд игр со словами был исследован на компьютере.
Так, компьютер нашёл самую длинную пару слов-анаграмм (НЕРАСТОРЖИМОСТЬ — СТАРОРЕЖИМНОСТЬ); наибольший блок анаграмм (6 слов: АВТОР — ВТОРА — ОТВАР — РВОТА — ТАВРО — ТОВАР); самый длинный логогриф: добавив к четырнадцатибуквенному слову ТАНКОСТРОИТЕЛЬ одну букву получаем новое слово — СТАНКОСТРОИТЕЛЬ; самые длинные слова, в которых чередуются гласные и согласные (четырнадцатибуквенные ВЕЛИКОМУЧЕНИЦА и СОЛОМОВОЛОКУША); и т.д.

В числе рекордов компьютера были и самые длинные слова без повторяющихся букв. Ими оказались четырнадцатибуквенные ЗВУКОСНИМАТЕЛЬ и РАЗГИЛЬДЯЙСТВО.

Позже, уже в XXI веке, исследование было повторено (с использованием того же словаря, но более новых компьютеров). И один из рекордов был улучшен.
Оказалось, что в использовавшемся словаре есть слова, содержащие более 14 неповторяющихся букв.

Какая особенность старых компьютеров не позволила им найти слова, содержащие более 14 неповторяющихся букв?

Примечание.
В обоих исследованиях под "словами" подразумевались имена существительные нарицательные в нулевой форме. Так, слово БУМАГОПРЯДИЛЬНЫЙ (16 неповторяющихся букв) является прилагательным, и не может быть засчитано; а БУМАГОПРЯДИЛЬНЫЙ ЦЕХ (19 неповторяющихся букв) или РЫБА ВЬЮН-ЖЕЛТОПУЗИК (18 неповторяющихся букв) — не слова, а словосочетания. В то же время, если бы в исследуемом словаре был ВЬЮН-ЖЕЛТОПУЗИК, то он стал бы третьим четырнадцатибуквенным словом без повторяющихся букв (т.е. дефис не мешает, но и не является буквой).