Откройте свой Мир!

sin1*cos3*ctg5=

 мне нужно построить графики таких вот функций или решение по возможности--->y=1/3 x^3 +x^2
y=2x^2 /x-2
y=1/3 x^3 -x
y=x/3 +3/x
буду очень благодарнаааа=) спасиб заранее.ответы пишите в личку на почту плииииз

...Сколько не пересекающихся, одинаковой мощности(бесконечные) подмножеств
можно мах выделить в натуральном ряду чисел, кроме известных двух, - четные и нечетные...И какие? Как это выразить в общем виде?
Возможна ли такая редакция ответа на этот вопрос:
1, N+1, 2N+1, 3N+1....
2, N+2, 2N+2, 3N+2....
3, N+3, 2N+3, 3N+3....
....
N, N+N, 2N+N, 3N+N....
не пересекаются и одинаковой мощности.
Re^...я не математик и этот вопрос меня интересует в связи некоторыми темами из других дисциплин,...если не затруднит кого-либо, - проконсультируйте...

Термин «богатство» в моих книгах и статьях ещё с 1997 года я трактую в самом широком смысле. Настолько широком – насколько богат и разнообразен окружающий нас мир: на нашей планете, в Солнечной системе, в нашей Галактике, во Вселенной. В качестве «богатства» могут выступать самые разнообразные физические характеристики (реальных объектов), например, их размер, объём, масса (вес), и т.д

[ Читать далее... → ]

Магия числа 7 «доказана» множеством примеров из науки и повседневной жизни (см. в моих сообществах статью «Магия числа 7»). А вот «магия» числа 137 не столь очевидна, но ученые о ней знают. Так, Ричард Фейнман, лауреат Нобелевской премии по физике, как-то назвал физическую константу, примерно равную числу 1/137, – «одной из величайших проклятых тайн физики: магическое число, которое приходит к нам без какого-либо понимания его человеком»…

[ Читать далее... → ]

Шамутдинов Айдар Харисович, старший преподаватель ОмГТУ каф. «ГМ и ТМ», 15 июля 2011 г.

ЧИСЛОВОЙ ИНВАРИАНТ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Теорема 1
Любое число, не кратное 9, можно представить в виде N=9K+i, где i-инвариант числа, а К=[N/9]
То есть: 
N=9[N/9]+i         (1), где 
[ ]-целая часть числа.
Отсюда видно, что i=N(mod9) 


Доказательство :
Пусть N=a1a2a3…an =10^(n-1)a1+10^(n-2)a2+…+an. Преобразуем это выражение:
N=a1a2a3…an=10^(n-1)a1+10^(n-2)a2+…+an=(99...9((n-1)раз 9)a1+99...9 
((n-1)раз 9) a2+...+9a(n-1))+(a1+a2+a3+…+an)
Рассмотрим два случая: 1) a1+a2+a3+…+an
<9:
10^(n-1)a1+10^(n-2)a2+…+an=(99...9((n-1)раз 9)a1+99...9 ((n-2)раз 9) a2+...+9a(n-1))+( a1+a2+a3+…+an )= 
=(99...9((n-1)раз 9)a1+99...9 ((n-2)раз 9) a2+...+9a(n-1))+i
 
Тогда [N/9]= (11...1((n-1)раз 1)a1+11...1((n-2)раз 1) a2+...+a(n-1))+[i/9], т.к. по определению инварианта i<9, то [i/9]=0. Поэтому 
[N/9]=(11...1((n-1)раз 1)a1+11...1((n-2)раз 1) a2+...+a(n-1)).
 

2)a1+a2+a3+…+an>9:
Тогда  
10^(n-1)a1+10^(n-2)a2+…+an=(99...9((n-1)раз 9)a1+99...9 ((n-2)раз 9) a2+...+9a(n-1))
+ ( a1+a2+a3+…+an )
Тогда [N/9]=(11...1((n-1)раз 1)a1+11...1((n-2)раз 1) a2+...+a(n-1))+[(a1+a2+...+an)/9](2)  

Таким образом, приходим к формуле (1): N=9[N/9]+i
Причем, если N=9M, т.е. N кратно девяти, то

N=9[(N-9)/9]+i     (3)или N=9[(9M-9)/9]+9=9(M-1)+9=9M

Как следствие из формулы (1) вытекает и формула для вычисления инварианта числа:

i(N)=N-9[N/9]     (4),     
где  N-некратно девяти. 
Если N=9M, то
i(N)=N-9[(N-1)/9]   (5)

Используя выражение (2) можно записать и другую формулу для вычисления инварианта:

 i(a1a2...an)=(a1+a2+...+an), если  
(a1+a2+...+an)<9

 i(a1a2...an)=9, если  
(a1+a2+...+an)=9k

 i(a1a2...an)=(a1+a2+...+an)-9[(a1+a2+...+an)/9], если  
(a1+a2+...+an)>9
 
 Пример 1
Найти инвариант числа 6678548311358024717
Решение:
i(6678548311358024717)= 6678548311358024717-9[6678548311358024717/9]= 6678548311358024717-9(742060923484224968)=5. 
Проверка: i(6678548311358024717)=i(6+6+7+8+5+4+8+3+1+1+3+5+8+0+2+4+7+1+7)=i(86)=i(8+6)=i(14)=i(1+4)=5

Пример 2.
Найти инвариант числа 18234612
Решение:
i(18234612)=18234612-9[(18234612-1)/9]= 18234612-9(2026067)=9
Проверка:
i(18234612)=i(1+8+2+3+4+6+1+2)=i(27)=i(2+7)=9

Видно, что формулы (4) и (5) очень удобны при вычислении инварианта очень большого числа, т.е. десятичная запись которого состоит из большого количества цифр. Кроме того формула (3) очень удобна для определения кратности числа N девяти. Как мы знаем по признаку делимости: число делится(кратно) девяти тогда, когда делится(кратна) сумма цифр данного числа. Но если число состоит из очень большого количества цифр, то операция сложения цифр числа довольно затруднительна. Поэтому считаем(естественно на калькуляторе) по формуле (3) инвариант данного числа: если в результате получился 0, то данное число делится(кратно) на 9(если по формуле (4), то будет 9). 

Теорема 2 (необходимое условие простоты числа)
Если число простое, то его инвариант принадлежит множеству: {1, 2, 4, 5, 7,  8} и окончание числа принадлежит множеству: {1, 3, 7, 9}, 
где i-инвариант числа;
e-окончание числа.Исключение: числа 2, 3 и 5

Доказательство :
1)По теореме 1 имеем:N=9К+i или:
N=a1a2...an=9(11...1((n-1)раз 1)a1+11...1((n-2)раз 1) a2+...+a(n-1))+i, 
если a1+a2+a3+…+an<9;
N= a1a2...an= 9(11...1((n-1)раз 1)a1+11...1((n-2)раз 1) a2+...+a(n-1)+[(a1+a2+...+an)/9])+i, 
если a1+a2+a3+…+an>9,
 
Если i=3, 6 или 9, то видно, что N=3(K+1), 3(K+2) или 3(K+3). Видно, что число будет обязательно делиться на 3, т.е. составное.
2) Любое число представимо в виде:N=10M+е. Если е=2, 4, 6 или 8, то: N=2(5к+1), 2(5к+2), 2(5к+3) или 2(5к+4). Видно, что число будет обязательно делиться на 2, т.е. составное.
Таким образом, все простые числа(p>7) имеют инвариант, равным 1, 2, 4, 5, 7 или 8 и оканчиваются на 1, 3, 7 или 9.

Пример 3
Даны простые числа p1=113, p2=127, p3=137, p4=139, p5=151, p6=179. Находим их инварианты: i(113)=1+1+3=5, i(127)=i(1+2+7)=i(10)=1+0=1,
i(1+3+7)=i(11)=1+1=2, i(139)=i(1+3+9)=i(13)=1+3=4, i151)=1+5+1=7,
i(179)=i(1+7+9)=i(17)=1+7=8. Кроме того окончания этих чисел принадлежат
множеству {1, 3, 7, 9}

Пример 4
Даны числа: 127, 129, 591, 133. Определить их на простоту.
Решение:
Находим их инварианты: i(127)=1, i(129)=3,
i(591)=6, i(133)=7. Видим, что
инварианты у чисел 129 и 591 не принадлежат множеству {1, 2, 4, 5, 7, 8}, хотя
и окончания у них принадлежат множеству простых чисел {1, 3, 7, 9}. Поэтому
можно сразу сказать, что числа 129 и 591 не являются простыми числами. По
таблице простых чисел убеждаемся, что число 127-простое, а число 133=7×19-составное.
Таким образом, знание теоремы о необходимых условиях простоты числа экономит
время на вычисления, а в некоторых случаях сразу можно определить составное
число.


См. http://aidar-shamutdinov.na...

подскажите куда можно представить работу для рассмотрения 

Помогите, пожалуйста, разобраться с методом внешних конечно-элементных аппроксимаций". Автор В.Н. Апанович. Мне, лично, да и другим, очень тяжело понять идею этого метода, так как написан сухим математическим языком. Читаешь монографию и теряешь нить мысли автора. Монографию, для ознакомления, могу прислать, пишите на e-mail: alvahtin@gmail.com. Можно договориться об оплате.

Шамутдинов Айдар Харисович, старший преподаватель ОмГТУ каф. «ГМ и ТМ», 15 июня 2011 г.

СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ИНВАРИАНТОВ
Инвариантом или цифровым корнем числа N=a1a2a3…an=10^(n-1)a1+10^(n- 2) a2+…+an называется число(цифра), которая получается последовательным сложением цифр, из которых состоит число, причем сложение идёт до тех пор, пока не получится одна цифра: Inv(N) или i(N)=a1+a2+a3+…+an.
1) Если a1+a2+a3+…+an = N1 = 10^(k-1)b1+10^(k-2)b2+…+bk (где k-количество цифр в числе N1=b1b2b3…bn), то i(N)=b1+b2+b3+…+bk;
2) Если b1+b2+b3+…+bk = N2 = 10^(m-1)c1+10^(m-2)c2+…+cm (где m-количество цифр в числе N2=c1c2c3…cn), то i(N)=c1+c2+c3+…+cm и т.д.
Основное свойство натуральных чисел:
Для любого числа N>0 справедливо: N=i(N)+9k или N=i(N)(mod9)
Пример 1.
Дано число N=137. Инвариант числа будет i(137)=i(1+3+7)=i(11)=1=1=2. Тогда 137=2+9*15
Свойство 1 (коммутативность умножения):
i(N1*N2*…*Nk)=i[i(N1)*i(N2)*…*i(Nk)] 
Пример 2.
Найти инвариант произведения 2309*1718*5881, т.е. i(2309*1718*5881)=?
Решение:
По свойству 1 имеем: . i(2309*1718*5881)=i[i(2309)*i(1718)*i(5881)]=i[5*8*4]=i[160]=7
Вычисляем 2309*1718*5881=23329115422 и i(22678)=i(2+3+3+2+9+1+1+5+4+2+2)=i(43)=7
Свойство 2(коммутативность сложения):
i(N1+N2+…+Nk)=i[i(N1)+i(N2)+…+i(Nk)]
Пример 3.
Найти инвариант суммы 2309+1718+5881, т.е. i(2309+1718+5881)=?
Решение:
По свойству 2 имеем: i(2309+1718+5881)=i[i(2309)+i(1718)+i(5881)]=i[5+8+4]=i[17]=8
Вычисляем сумму 2309+1718+5881=9908 и i(9908)=i(9+9+0+8)=i(26)=8
Свойство 3(дистрибутивность умножения относительно сложения):
i[N1(N2+N2+…+Nk)]=i[i(N1)*[i(N2)+i(N2)+…+i(Nk)]]
Пример 4.
Найти инвариант произведения 2309(1718+5881), т.е. i[2309(1718+5881)]=?
Решение:
По свойствам 3, 2 и 1 имеем: . i[2309(1718+5881)]=i[i(2309)[i(1718)+i(5881)]]=i[5[8+4]]=i[i(5)*i(12)]=i[5*3]=i[15]=6. 
Вычисляем i[2309(1718+5881)]=i[2309*7599]=i[17546091]=i[1+7+5+4+6+0+9+1]=i[33]=6
Свойство 4(существование нейтрального элемента при сложении):
i(N+9n)=i(N)
Пример 5.
i(124+9)=i(133)=1+3+3=7=i(124)=1+2+4
i(124+999)=i(1123)=1+1+2+3=7= i(124)=1+2+4
Свойство 5(существование нейтрального элемента при умножении):
i(9N)=i(9)=9,
где N1, N2,…,Nk-числа; n-N(натур.)
Пример 6.
i(9*237)=i(2133)=2+1+3+3=9
i(9*1064)=i(9576)=i(9+5+7+6)=i(27)=2+7=9

Пример 7.
Найти инвариант числа N=130279
Решение:
i(130279)=1+3+0+2+7+9=22, i(22)=2+2=4, т.е. i(130279)=4;
i(130279)=13+2+79=94, i(94)=9+4=13, i(13)=1+3=4;
i(130279)=130+279=409, i(409)=4+0+9=13, i(13)=1+3=4;
i(130279)=1302+79=1381, i(1381)=1+3+8+1=13, i(13)=1+3=4,
i(130279)=13027+9=13036, i(13036)=1+3+0+3+6=13, i(13)=1+3=4
Из этого примера видно, что конечная сумма числа, независимо от перестановок цифр будет одна и та же и равна инварианту этого числа.

Найдём степени первых 9 натуральных чисел и найдём их инварианты:
а) 1^n=1. Тогда i(1^n)=1;
б) 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256, 2^9=512, 2^10=1024, 2^11=2048, 2^12=4096 и т.д. Тогда i(2)=2, i(4)=4, i(8)=8, i(16)=7, i(32)=5, i(64)=1, i(128)=2, i(256)=4, i(512)=8, i(1024)=7, i(2048)=5, i(4096)=1 и т.д. Видно, что i(2^n)={2; 4; 8; 7; 5;1}-множество шести повторяющихся чисел (цифр);
в) 3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729, 3^7=2187, 3^8=6561, 3^9=19683 и т.д. Тогда i(3)=3, i(9)=9, i(27)=9, i(81)=9, i(243)=9, i(729)=9, i(2187)=9, i(6561)=9, i(19683)=9 и т.д. Видно, что i(3^n)={3;9};
г) 4^1=4, 4^2=16, 4^3=64, 4^4=256, 4^5=1024, 4^6=4096 и т.д. Тогда i(4)=4, i(16)=7, i(64)=1, i(256)=4, i(1024)=7, i(4096)=1 и т.д. Видно, что i(4^n)={4;7;1}-множество трёх повторяющихся чисел (цифр);
д) 5^1=5, 5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125, 5^6=15625, 5^7=78125, 5^8=390625, 5^9=1953125, 5^10=9765625, 5^11=48828125, 5^12=244140625 и т.д. Тогда i(5)=5, i(25)=7, i(125)=8, i(625)=4, i(3125)=2, i(15625)=1, i(78125)=5, i(390625)=7, i(1953125)=8, i(9765625)=4, i(48828125)=2, i(244140625)=1 и т.д. Видно, что i(5^n)={5;7;8;4;2;1}-множество шести повторяющихся чисел (цифр);
е) 6^1=6, 6^2=36, 6^3=216, 6^4=1296, 6^5=7776, 6^6=46656 и т.д. Тогда i(6)=6, i(36)=9, i(216)=9, i(1296)=9, i(7776)=9, i(46656)=9 и т.д. Видно, что i(6^n)={6;9};
ж) 7^1=7, 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807, 7^6=117649 и т.д. Тогда i(7)=7, i(49)=4, i(343)=1, i(2401)=7, i(16807)=4, i(117649)=1 и т.д. Видно, что i(7^n)={7;4;1}-множество трёх повторяющихся чисел (цифр);
з) 8^1=8, 8^2=64, 8^3=512, 8^4=4096, 8^5=32768, 8^6=262144 и т.д. Тогда i(8)=8, i(64)=1, i(512)=8, i(4096)=1, i(32768)=8, i(262144)=1 и т.д. Видно, что i(8^n)={8;1}-множество двух повторяющихся чисел (цифр);
и) 9^1=9, 9^2=81, 9^3=729, 9^4=6561, 9^5=59049, 9^6=531441 и т.д. Тогда i(9)=9, i(81)=9, i(729)=9, i(6561)=9, i(59049)=9, 531441)=9 и т.д. Видно, что i(9^n)=9.
Анализирую выражения а)-и) более подробно, можно записать свойства для инвариантов степеней чисел от 1 до 9:

Свойство 6: i(1^n)=1

Свойство 7:
i(2^n)=2, при n=6k-5;
i(2^n)=4, при n=6k-4;
i(2^n)=8, при n=6k-3;
i(2^n)=7, при n=6k-2;
i(2^n)=5, при n=6k-1;
i(2^n)=1, при n=6k;
k=1,2,3…

Свойство 8:
i(3^n)=3, при n=1;
i(3^n)=9, при n>1

Свойство 9:
i(4^n)=4, при n=3k-2;
i(4^n)=7, при n=3k-1;
i(4^n)=1, при n=3k;
k=1,2,3…

Свойство 10:
i(5^n)=5, при n=6k-5;
i(5^n)=7, при n=6k-4;
i(5^n)=8, при n=6k-3;
i(5^n)=4, при n=6k-2;
i(5^n)=2, при n=6k-1;
i(5^n)=1, при n=6k;
k=1,2,3…

Свойство 11:
i(6^n)=6, при n=1;
i(6^n)=9, при n>1

Свойство 12:
i(7^n)=7, при n=3k-2;
i(7^n)=4, при n=3k-1;
i(7^n)=1, при n=3k; 
k=1,2,3…

Свойство 13:
i(8^n)=8, при n=2k-1;
i(8^n)=1, при n=2k;
k=1,2,3...

Свойство 14:
i(9^n)=9.

Анализирую степени чисел N>9, можно заметить, что инварианты степеней чисел N>9, будут совпадать с инвариантами степеней чисел от 1 до 9. Другими словами, можно записать ещё одно общее свойство инварианта степени:

Свойство 15: i(N^M)=i[(i(N))^M], где числа N, M>0

Используя свойства 6-15 можно решить множество задач, связанные с числами.
Пример 8.
Найти инвариант числа А=14^17
Решение:
Здесь N=14 и M=17. Находим: i(14)=5. Тогда по свойству 15 имеем: i(14^17)=i[(i(14))^17]=i[5^17]. Используя свойство 10, видим, что М=17=6*3-1, т.е. i=2. Вычисляем А=14^17=30491346729331195904. Тогда i(30491346729331195904)=i(3+0+4+9+1+3+4+6+7+2+9+3+3+1+1+9+5+9+0+4) = i(83)=i(8+3)=i(11)=2

Пример 9.
Найти инвариант числа В=101^15
Решение:
Здесь N=101 и M=15. Находим: i(101)=2. По свойству 15 имеем: i(101^15)=i[(i(101))^15]=i[2^15]. Используя свойство 7, видим, что М=15=6*3-3, т.е. i=8. Вычисляем B=101^15=1160968955369998535166956051501. Тогда i(1160968955369998535166956051501)=i(1+1+6+0+9+6+8+9+5+5+3+6+9+9+9 +8+5+3+5+1+6+6+9+5+6+0+5+1+5+0+1)=i(152)=1+5+2=8.
Для быстрого подсчёта инварианта, как говорится «в уме», можно воспользоваться свойствами 4 и 5. Например, подсчитать инвариант числа из предыдущего примера 9, не находя суммы цифр. Замечаем, что единиц 5 штук, пятёрок-7. Итого 5*8=40, т.е. по инварианту-это 4. Далее, девятки и нули отбрасываем: 6683683666. Количество шестёрок-6, т.е 6*6=36. Таким образом, все шестёрки отбрасываем (т.к. 3+6=9).Получилось число 8383, т.е. i(8+3)=i(1+1)=2. Итак, 2+2+4=8.

Алгоритм для быстрого подсчёта инварианта числа
1.Отбрасываем нули(0) и девятки(9);
2.Отбрасываем сочетания цифр вида: 18, 27, 36, 45 и их перестановки;
3.Отбрасываем сочетания цифр вида: 117, 126, 135, 144, 225, 234, 333 и их перестановки; 
3.Отбрасываем сочетания цифр вида 3^n и 6^n при n>1.
См. http://aidar-shamutdinov.na...

на wikipedia.ru нашёл общую формулу, но не понял как решать. 

помогите решить пожалуйста, или хотя б ссылку подкиньте, где есть решение подобных примеров.