У этой задачи есть история. В 1972 году руководству летней
ФМШ при НГУ пожаловались, что задания для учащихся,
прошедших олимпиадное сито в Республиках, уж очень
сложные, и нам, преподавателям дали одну из таких задач.
На решение отвели один час, вечером, в общежитии.
Мы все эту задачу решили! Время решения было около часа.
Эта задача может быть применена для оценки математических
способностей у "продвинутых" детей.
К сожалению, тесты по математике сейчас выглядят, например,
таким образом. Та же самая задача, ответы:
1. Всегда можно построить треугольник
2. Можно, но не всегда.
3. Нельзя никогда.
4. Нельзя, потому что медиан у треугольника четыре.
Конечно же, при ответах в тестах теряется и способ решения
задачи, и напрочь оттутствует логика, смысл какого-либо доказательства...

Всё-таки решил написать решение, задача действительно
сложная. Дело было вечером, в общежитии, нам сказали,
что нами недовольна научная администрация Летней школы,
что, дескать, мы даём слишком трудные задачи.
В общем, надо было эту задачу решить, и на решение
отводился один час. Ну вот, все начали решать, уравнения очень сложные,
и к концу часа у всех начали созревать решения. Вижу - дело
плохо, не успею... Тогда заметил, что медиана - это векторная
полусумма сторон, с учетом направления. А векторная сумма медиан,
в чём легко убедиться, равна нулю. А если сумма трёх векторов
равна нулю, то это уже готовый треугольник!
Я хитро подождал окончания часа,
хотя и бросил доказательство неравенств, но тоже оказался
в числе решивших эту задачу, а её решили не все преподаватели
Летней школы.