Я рад приветствовать Вас здесь, на страничке сообщества "Геометрия в Школе (школьная геометрия)" в открытой социальной сети МойМир@Mail.Ru.

Сообщество открыто для всех кто интересуется школьной геометрией. Мы рады видеть школьников, увлеченных этим предметом, их педагогов и родителей. Выпускников, сохранивших теплую память о школьных годах и интерес к геометрии. Наконец, всех взрослых от инженеров и научных сотрудников до успешных предпринимателей и менеджеров, которые воспринимают решение задач школьной геометрии как увлекательный интеллектуальный тренинг, позволяющий поддерживать и развивать гибкость ума.

Наше сообщество, повторю еще раз, открыто для всех. У всех нас теперь есть уникальная возможность общаться друг с другом. Возможно, что кому-то это общение даст новых друзей и коллег, другим - определить свой путь в жизни, третьим - найти партнеров или перспективных сотрудников. Ведь среди людей, любящих геометрию и увлеченных ею, заурядностей нет и просто быть не может!

Когда-то, в античные времена древнегреческие купцы, закончив свой трудовой день, отдыхали, собираясь вместе. Они наслаждались свежим воздухом прекрасных аллей, проходя мимо мастерски выполненных скульптур. Их радовал прекрасный солнечный вечер и доносившийся шум прибоя. Наконец, перед ними открывался вид моря, и они выходили на пляж, где располагались на отдых. Их фигуры отбрасывали длинные тени в лучах предзакатного солнца. Собравшиеся чертили на песке геометрические фигуры и задавали друг другу задачи. Так они одновременно упражняли свой ум и определяли подходящих партнеров по бизнесу. Ведь правильный выбор партнера немаловажен для достижения успеха.

Так пусть и же и в нашем кругу всегда острота ума будет нераздельна с благополучием!

Если Ваши интересы не ограничиваются геометрией, но Вы увлекаетесь математикой в целом, то позволю себе порекомендовать Вам Сообщество  Математика в Школе. Надеюсь, на его страничках Вы сможете найти много интересного для себя.

Девятая устная олимпиада по геометрии (8-11 классы): 10 апреля 2011.

8 класс.

Первый день.

1. В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведенной из вершины A.

2. Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек C, таких, что треугольник ABC можно накрыть кругом единичного радиуса.

3. В выпуклом четырехугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась точка P, такая, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что AB = CD.

4. В равные углы X'OY и YOX'' вписаны окружности w' и w'', касающиеся сторон OX' и OX'' в точках A' и A'' соответственно, а стороны OY — в точках B' и B''. Точка C' — вторая точка пересечения A'B'' и w', а точка C'' — вторая точка пересечения A''B' и w''. Докажите, что C'C''— общая касательная к окружностям.

Второй день.

5. В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL — биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике едианой.

6. Точки E, F — середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что углы PDA и AED равны.

7. Каждый из двух правильных многоугольников P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и одну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?

8. Биссектрисы AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A'I и B'I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A'' и B'', лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A''B'' пополам. Верно ли, что треугольник ABC — равнобедренный?

9 класс.

Первый день.

1. Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведенными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?

2. Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Здесь треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри нее.)

3. На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD — правильные, причем вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

4. В треугольнике ABC отметили точки A', B' касания сторон BC, AC с вписанной окружностью и точку G пересечения отрезков AA' и BB'. После этого сам треугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Второй день.

5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC (угол ABC — прямой), касается сторон AB, BC, AC в точках C', A', B' соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A''. A''' — центр окружности, описанной около треугольника A'A''B'; аналогично определяется точка C'''. Найдите угол A'''BC'''.

6. Произвольная прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

7. В треугольнике ABC AL' и AM' — внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть w' — окружность, симметричная описанной окружности треугольника AL'M' относительно середины BC. Окружность w'' определена аналогично c заменой вершины A на вершину B. Докажите, что w' и w'' касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

8. На доске нарисован правильный многоугольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отмеченные точки на своем периметре. Найдите наименьшее k, достаточное для любого исходного многоугольника.

10 класс.

Первый день.

1. Пусть O, I — центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r — радиусы этих окружностей; J — точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.

2. Каждая из двух равных окружностей w' и w'' проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в w', а прямые AC, BC касаются w''. Докажите, что cos A + cos B = 1.

3. Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn (n>3) таковы, что любая сторона первого больше соответствующей стороны второго. Может ли оказаться, что любая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

4. Проекции двух точек на стороны четырехугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырехугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырехугольник — параллеллограмм.

Второй день.

5. В прямоугольном треугольнике ABC (угол B — прямой) проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H', B'; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H'', B''; O — центр описанной окружности треугольника H'BH''. Докажите, что OB'' = OB'.

6. Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что Треугольник ABC — правильный?

7. Каждый из двух правильных многогранников P и Q разрезали плоскостью на две части. Одну из частей P и одну из частей Q приложили друг к другу по плоскости разреза. Может ли получиться правильный многогранник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть граней?

8. Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили точки A', B' и C', после чего сам треугольник стерли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке.