Один из учеников разобьет других на две группы по цвету тюбетеек и кто то из этих групп покажет ему куда присоединиться.

Это как задачка с напильниками ?

Становятся в очередь или в очередь по кругу.
каждый видит впереди стоящих и не видит своей тюбитейки и тех кто сзади.
Логика подсчетов:
Договариваются заранее, что если два подряд впереди стоящих (или спереди и сзади от него - тут нужно точнее разобраться, конечно) имеют одинаковый цвет тюбетеек - это одна группа системы последовательностей, а если разные - то другая группа последовательностей.
А дальше идет простая математика суммы последовательностей, в которую я влазить не имею желания и времени сейчас.
Может кого-то эта подсказка подтолкнет к окончательному решению.

Выбираю человека с синим цветом ТЮ и ставлю его за собой, следующего с цветом как у того кто за мной и так далее. Если находится чел с цветом не таким как у того кто за мной, то впереди себя. Когда все построятся, покидаю строй и жестом спрашиваю у того кто стоял за мной, мол мне куда, в конец строя от точки где стоял или в конец тех кто после меня? Он конечно меня отправляет по назначению. Так все оказываются разделены по цветам тюбетеек. Тогда их разделение, это то место, где я стоял до моего ухода в любой из концов.

при моём решении один должен поднять руку раньше остальных, назову его "первый". Наверно, оно неправильное. Красные шапки - нули, синие - единицы. Первый суммирует тех, кого видит. Чётное число в окружении первого - он поднимает правую руку, нечётное - левую (ноль - чётное). После этого определённая рука соответствует цвету его шапки. Допустим, он в синей и поднял правую руку. Любой следующий суммирует оставшихся (естественно, не включая себя и "первого" ). Если получил нечётное, значит, он единица, а если четное, как у первого, значит он ноль. И поднимает соответствующую руку.

Если число учеников четное т они разбиваются на пары и если ученик видит на своем напарнике красную тюбетейку то поднимает правую руку. Если же нечетное то водной группе 3 ученика. Каждый из них оценивает двух других. Если у обоих красные тюбетейки то поднимает правую руку. Если же у одного или обох синие тюбетейки то левую руку.

Красные тюбетейки - нули, синие - единицы. Каждый ученик считает сумму тех, кого видит (сколько синих?). Если получает чётное число поднимает правую руку, если нечётное - левую руку.

Что-то опять нить потерял, пример : я вижу три синие ТЮ. семь красных. Я одиннадцатый и пока смотрим друг на дружку, должен принять решение, какую руку мне поднять ОДНОВРЕМЕННО со всеми.Но информации о моей ТЮ у меня нет, пока я не получу информацию от подъёма рук и подсчёта нулей и единиц.... Не получается .

Кто-то один соберет всех одних красных цветов,а оставшиеся поймут какого у них цвета шапки.