Они договорились что только выключают лампочку. А которого приводят периодически он включает лампочку. Когда он увидит при очередном посещении что лампочка горит значит никто не приходил. Значит все уже были.

Если лампочка исчезнет, значит в комнате уже кто-то был, скорее всего сам начальник.

Ну, наверное, если какой-то чел будет только включать лампочку, то включив ее не менее 99 или даже еще лучше 100 раз чтоб наверняка, он может заявить, что в комнате побывали все заключенные, ведь у 99 из 100 чел есть выбор только 1.включить, 2.выключить или 3.оставить все как есть и не трогать, т.е. каждое действие возможно с вероятностью 1/3,
а у только включающего выбор таков - 1.включить или 2. оставить как есть - т.е.1/2, поэтому как только он челкнет 99 раз "вкл" - тогда все остальные уже побывали в комнате. Сколько раз зайдет каждый и произведет какое-либо действие, наверное не суть важно, а вероятность, что кто-то ни разу не побывает в комнате исключается в условиях задачи априори. Главное, что сам он производит одно и то же действие.
Как такая стратегия работает с т.з. математики лучше не спрашивайте - не знаю,
наверное через факториал как-то посчитать можно или еще как-то попроще.

Что значит: заключённые посоветовались и разошлись? Все сто собрались в одном месте и общались?

Побывавший в комнате отказывается от утреннего чая. Включивший свет - от каши. Выключивший от хлеба. Раздатчик пищи - владелец всей информации.