ОТВЕТ: нет, не может.

Предположим, что условие задачи выполнено.



Пронумеруем вершины 2012-угольника числами от −1006 до 1006, за исключением нуля:
A₋₁₀₀₆, A₋₁₀₀₅, … A₋₁, A₁, A₂, A₃,…, A₁₀₀₆.
(так, что вершины Aᵢ и A₋ᵢ симметричны относительно центра O описанной вокруг 2012-угольника, окружности).
S — вершина пирамиды, D — её вертикальная проекция в плоскость основания, r — радиус описанной окружности.

Введём обозначения для векторов:
rᵢ = AᵢO, d = OD, h = DS,
lᵢ = AᵢS = rᵢ + d + h

Тогда квадрат длины ребра lᵢ равен
lᵢ² = (lᵢ, lᵢ) = (rᵢ + d + h)² = (r²+d²+h²) + 2(rᵢ, d),              (1)
а квадрат длины «противоположного» ребра l₋ᵢ равен
l₋ᵢ² = (r²+d²+h²) + 2(r₋ᵢ, d) = (r²+d²+h²) − 2(rᵢ, d).                (1')

1) Рассмотрим сумму квадратов этих двух длин рёбер:
lᵢ² + l₋ᵢ² = 2(r²+d²+h²) ≡ K
(второе слагаемое сократилось, т. к. rᵢ+r₋ᵢ = 0).
Поскольку числа lᵢ и l₋ᵢ целые, то и K — целое.

2) Просуммируем длины квадратов ВСЕХ рёбер:
∑lᵢ² = 2012(r²+d²+h²) = 1006K — чётное число.
ˡ

Однако, согласно условию задачи, ровно 13 длин рёбер чётны, остальные 1999 нечётны. Тогда сумма квадратов длин всех рёбер должна быть нечётна. Но в соответствии с предыдущей формулой эта сумма является чётным числом.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

P. S. Условия задачи можно расширить для любого (4n)-угольника и нечётного числа рёбер, длины которых нечётны.