Красивая задача, но красивого геометрического решения пока найти не удалось.

Есть довольно "унылое" алгебраическое решение, основанное на рассмотрении двух функций.

Полностью записывать решение долго, остановлюсь на основных моментах.

1) условие AK*BC = AB*CK можно переписать как CK²/AK² = BC²/AB²,
а условие AL*BC = AC*BL — как BL²/AL² = BC²/AC²

2) направим ось x вдоль стороны BC так, что B — начало координат, а C имеет координаты (a;0), где a = BC. Пусть B(p;q), а точки K и L имеют координаты (x;0).
Рассмотрим две функции:
f(x) = CK²/AK² = (x−a)²/[(x−p)²+q²];
g(x) = BL²/AL² = x²/[(x−p)²+q²].

Заметим, что f(x) и g(x) — непрерывные и гладкие на всей числовой оси функции; f(a) = g(0) = 0; f(x) и g(x) стремятся к 1 при x→±∞.

Тогда условие задачи можно сформулировать так:
f(x) принимает значение f(0) ровно один раз (1),
g(x) принимает значение g(a) как минимум дважды (2).

Из рассмотрения условия (1) получаются два варианта:
а) f(0) = 1, т. е. AB = BC (треугольник равнобедренный, интересующий нас случай)
б) f(0)>1, f'(0) = 0 ⇒ p²+q² = ap (геометрически: AB = BC·cos(∠B)).

Но оказывается, что в случае (б) функция g(x) имеет максимум (локальный и глобальный) в точке x=a и, следовательно, условие (2) не выполнено.

Так что остаётся только вариант а) ⇒ ΔABC — равнобедренный. Что и требовалось.

Точки C и L лежат на окружности Аполлония относительно AB.
Точка В на серединном перпендикуляре к AC => AB = CB.